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小升初数学中的易错问题及分析
来源: 春天家教- 春天教育 文章作者:西安家教网  2016-03-17 16:26:21

复合应用题中的某些问题,解题时需先根据已知条件,求出一个单位量的数值,如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等,然后,再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题,这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答,这种方法叫做倍比法。

由上所述,解答归一问题的关键是求出单位量的数值,再根据题 中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义,抓准题中数量的对应关系,列出算式,求得问题的解决。

【例1】小红骑车3分钟行600米,照这样的速度她从家到学校行了10分钟,小红家到学校有多少米?

  [解]600÷3×10

  =200×10

  =2000(米)。

  答:小红家到学校有2000米。

[常见错误]

  600÷10×3

  =60×3

  =180(米)。

  答:小红家到学校有180米。

[分析]

解答上题先要求出1分钟行的路程,再求出10分钟行的路程。错解中把3分钟行600米,看成了10分钟行600米,因此,第一步求单位量的数值就错了,后面再去乘以3是毫无道理的。防止出错的根本办法是解题时要找准对应的数量。如上例,3分钟行的路程对应的是600米,10分钟行的路程对应的小红家到学校的路程。

【例2】某运输公司用6辆汽车运水泥,每天可运96吨。根据运输情况,现在增加4辆同样的汽车,每天一共运水泥多少吨?

  [解]96÷6×(6+4)

  =16×10

  =160(吨)。

  答:每天可运水泥160吨。

[常见错误]

  96÷6×4

  =16×4

  =64(吨)。

  答:每天可运水泥64吨。

[分析]

解答归一问题先求出单位量的数值,但对题中要求的问题应加以分析。上题中“增加4辆同样的汽车”,每天一共运水泥多少吨,应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和,即10辆汽车的运输量。归一问题常常发生例2的错解,主要原因是没有认真分析与理解题意,把要求的问题所对应的数量搞错,从而出现错误。

【例3】某县化肥厂计划春节前40天生产化肥3400吨,实际头8天生产化肥720吨。照这样计算,春节前可超产多少吨?

  [解]720÷8×40-3400

  =90×40-3400

  =3600-3400

  =200(吨)。

  答:春节前可超产200吨。

[常见错误]

  (1)3400÷40×(40-8)+720

  =85×32+720

  =2720+720

  =3440(吨)。

  答:春节前可超产3440吨。

  (2)720÷8×40

  =90×40

  =3600(吨)。

  答:春节前可超产3600吨。

  (3)720÷8-3400÷40

  =90-85

  =5(吨)。

  答:春节前可超产5吨。

[分析]

学生对归一问题的基本应用题一般都能解答出来,但是,对归一问题的扩展题解答时却常常出错。例3就是这种扩展题,出现的第一个错解是对题意不理解,仅根据题中已知条件的表面联系,胡乱凑在一起,进行解答。错解(2)与错解(3)都是答非所问,没有按照题目的要求,进行解答。错解(2)求出的是春节前实际生产的吨数,错解(3)求出的是实际每天比原计划每天多生产的吨数。

为了防止归一问题的扩展题解答出错,关键还是要掌握归一问题的基本解法。如例3先求出每天实际生产的吨数,再求出春节前40天实际生产的总吨数,最后求出超产的吨数。按照这个思路,解题就不会出现错误。

归一问题的扩展题往往有多种解法,如例3可用倍比法先求出实际产量,再减去原计划产量就得超产量。列式为:

  720×(40÷8)-3400。

  也可以先求出每天的超产量,然后再求出40天的超产量。解答的算式为:

  (720÷8-3400÷40)×40。

【例4】洗衣机厂计划25天生产洗衣机4000台,实际每天比计划多制造40台。照这样计算,完成原定生产任务要少用多少天?

  [解]25-4000÷(4000÷25+40)

  =25-4000÷(160+40)

  =25-4000÷200

  =25-20

  =5(天)。

  答:完成原定生产任务要少用5天。

[常见错误]

  4000÷(4000÷25+40)

  =4000÷(160+40)

  =4000÷200

  =20(天)。

  答:完成原定任务要少用20天。

[分析]

【例4】是一道较复杂的归一问题的应用题,错解算出的是完成原定生产任务所需的时间,而忽略了题中要求的是少用多少天。

解复杂的归一问题的应用题,也和解其他类型的应用题一样,可从题目本身的问题出发,逆推分析,从而求得问题解答的算式。像这道题要求少用多少天,必须知道计划天数(已知为25天)与实际生产天数;要求实际生产天数必须知道实际生产量(已知为4000台)与每天实际生产台数;要求每天实际生产台数必须知道原计划每天生产台数(算式为4000÷25)与实际比计划多生产的台数(已知为40台);这样逐步导出的解答算式为:25-4000÷(4000÷25+40)。

反映时间、速度、距离三者之间关系的应用题一般称为行程问题。行程问题的内容相当广泛,目前小学数学教材中行程问题仅涉及相向运动中的相遇问题。

相遇问题是研究两个运动的物体,从两个不同的地方,沿同一条路线同时(或者不同时)出发,作相向运动。因此,它有三种基本形式:

  第一是已知甲、乙的速度和相遇的时间,求距离;

  第二是已知甲、乙的速度和距离,求相遇的时间;

  第三是已知距离,相遇时间和甲(或者乙)速度,求乙(或者甲)速度。

  【例1】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米?

  [解]46×3.5+48×3.5

  =161+168

  =329(千米)。

  或(46+48)×3.5

  =94×3.5

  =329(千米)。

  答:甲、乙两个城市的路程有329千米。

[常见错误]

  46×3.5+48

  =161+48

  =209(千米)。

  答:甲、乙两个城市的路程有209千米。

[分析]

这是一道相遇问题的基本题,错解中由于审题不严密,误认为只有客车行了3.5小时,货车行了48千米,两车就相遇了,因而产生了错误。如果首先理解甲、乙两城的路程就是客车与货车所行路程的和,然后分别求各自的速度与行驶的时间,就不会出现错误了。

【例2】两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时,各行了多少千米?

  [解]255÷(45+40)

  =255÷85

  =3(小时)。

  45×3=135(千米)。

  40×3=120(千米)。

  答:相遇时甲车行了135千米,乙车行了120千米。

  [常见错误]

  (1)255÷(45+40)

  =255÷85

  =3(小时)。

  45×3=135(千米)。

  答:相遇时各行了135千米。

  (2)255÷(45+40)

  =255÷85

  =3(小时)。

  40×3=120(千米)。

  45×3=135(千米)。

  答:相遇时甲车行了120千米,乙车行了135千米。

  [分析]

  解题不完整,答非所问,这是应用题解答经常出现的一种错误,特别是对于粗心大意的学生来说,更是如此。防止粗心大意的办法是要养成检验的良好习惯。

  【例3】 两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟两人可以相遇?

  [解][3300-(82+83)×15]÷(82+83)

  =[3300-165×15]÷165

  =[3300-2475]÷165

  =825÷165

  =5(分钟)。

  答:还要5分钟两人可以相遇。

  [常见错误]

  (1)(82+83)×15÷(82+83)

  =165×15÷165

  =2475÷165

  =15(分钟)。

  答:还要15分钟两人可以相遇。

  (2)[3300-(82+85)×15]÷82

  =[3300-165×15]÷82

  =[3300-2475]÷82

  =825÷82

  ≈10.1(分钟)。

  答:还要行10.1分钟两人可以相遇。

  [分析]

  这是一道较复杂的相遇问题,错解(1)没有求出还剩下的路程,错解(2)将剩下的路程由甲一人行走,所以两种解法都错了。防止错误的主要办法是需认真审题,理解题中已经行了多少米,还剩下多少米,剩下的路程由甲、乙两人相对行走,还要多少分钟等等。这样,用剩下的路程除以甲、乙两人的速度和,就得出还要多少分钟两人相遇。

  【例4】 甲、乙两港的航程有480千米,上午10点一艘货船从甲港开往乙港,下午2点一艘客船从乙港开往甲港。客船开出12小时与货船相遇。已知货船每小时行15千米,客船每小时行多少千米?

  [解](480-15×4)÷12-15

  =(480-60)÷12-15

  =420÷12-15

  =35-15

  =20(千米)。

  答:客船每小时行20千米。

  [常见错误]

  (1)480÷12-15

  =40-15

  =25(千米)。

  答:客船每小时行25千米。

  (2)(480-15×4)÷12

  =(480-60)÷12

  =420÷12

  =35(千米)。

  答:客船每小时行35千米。

  [分析]

  这道题中的数量关系较为复杂,解题时稍不留意就出错。错解(1)是套用公式,没有注意到“货船先行了4小时客船才开出”这个条件。错解(2)求出的是客、货两船的速度和。解答较复杂的应用题一定要养成认真审题的习惯,行程问题给出线段图将有助于理解题意与选择解法。


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